Βρείτε τη χαμένη σχέση

Ξεκινήστε με συγκρίσεις

Μια ακολουθία προσφέρει διατεταγμένες παρατηρήσεις. Η εργασία είναι συνήθως να προτείνετε έναν συμπαγή κανόνα που τις εξηγεί και μετά να συνεχίσετε με αυτόν τον κανόνα. Αυτό διαφέρει από την απόδειξη ότι δεν υπάρχει άλλη συνέχεια. Η διατήρηση αυτών των δύο εργασιών χωριστά κάνει τους γρίφους αριθμών πιο ειλικρινείς και πιο ενδιαφέροντες.

Ξεκινήστε με απλούς ελέγχους. Οι όροι αυξάνονται; Είναι σταθερά τα κενά; Είναι κάθε όρος σταθερό πολλαπλάσιο του προηγούμενου; Έχει σημασία η θέση περιττή ή άρτια; Γράψτε αυτές τις παρατηρήσεις αντί να εναλλάσσετε εικασίες στο μυαλό σας. Ένας σύντομος πίνακας συχνά αποκαλύπτει περισσότερα από ένα μακρύ κοίταγμα.

Θεωρήστε τους 4, 9, 16, 25. Τα κενά είναι 5, 7 και 9. Οι όροι είναι επίσης διαδοχικά τετράγωνα, ξεκινώντας από το 2². Και οι δύο περιγραφές προτείνουν το 36 ως επόμενο. Εδώ δεν είναι ανταγωνιστικές εξηγήσεις: περιγράφουν την ίδια συνέχεια με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Διαχωρισμός παρατήρησης από επέκταση

1. Παρατηρήθηκε: τα δοσμένα κενά είναι 5, 7 και 9.

2. Υποτίθεται: κάθε επόμενο κενό αυξάνεται κατά 2.

3. Συνάγεται: με βάση αυτή την υπόθεση, ο πέμπτος όρος είναι 35.

Η πρώτη πρόταση μπορεί να ελεγχθεί άμεσα από τη λίστα. Η δεύτερη επεκτείνεται πέρα από τη λίστα. Η τρίτη προκύπτει από τη δεύτερη. Αν η εξήγησή σας συμπτύξει αυτά τα στάδια σε «προφανώς 35», αποκρύπτει το πιο σημαντικό μέρος του συλλογισμού.

Αυτή η διάκριση δεν είναι τυπολατρία. Για οποιαδήποτε πεπερασμένη συλλογή όρων, ένας άλλος κανόνας μπορεί να συμφωνεί με όλες τις δοσμένες τιμές και να διαφέρει αργότερα. Για παράδειγμα, η προσθήκη πολλαπλασίου του (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) σε έναν τύπο δεν αλλάζει τίποτα στις θέσεις 1 έως 4, επειδή ένας παράγοντας είναι μηδέν σε κάθε θέση. Στη θέση 5, αυτός ο επιπλέον όρος δεν χρειάζεται να μηδενίζεται.

Συνεπώς, μια καλή ερώτηση ανοιχτής ακολουθίας ζητά έναν απλό και εύλογο κανόνα. Μια αυστηρά μοναδική ερώτηση χρειάζεται επιπλέον περιορισμούς, όπως «οι όροι είναι διαδοχικά τετράγωνα» ή «η ακολουθία έχει σταθερές δεύτερες διαφορές».

Χρησιμοποιήστε υπόλοιπα όταν το μέγεθος αποσπά την προσοχή

Δεν είναι κάθε γρίφος αριθμών σχετικός με ακολουθία. Μερικές φορές η χρήσιμη σχέση είναι το υπόλοιπο. Αν ένας ακέραιος αφήνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρείται με το 3, μπορεί να γραφτεί ως 3k + 1 για κάποιον ακέραιο k. Αυτή η περιγραφή περιορίζει μια μεγάλη αναζήτηση σε μια συγκεκριμένη οικογένεια υποψηφίων.

Ας υποθέσουμε ότι ένας αριθμός μεταξύ 10 και 20 αφήνει υπόλοιπο 1 στη διαίρεση με το 3 και είναι άρτιος. Η πρώτη συνθήκη αφήνει τους 10, 13, 16 και 19. Η συνθήκη της αρτιότητας αφήνει τους 10 και 16. Εξακολουθούν να υπάρχουν δύο απαντήσεις. Αν ο γρίφος λέει επιπλέον ότι ο αριθμός υπερβαίνει το 12, μένει μόνο το 16. Παρατηρήστε πώς κάθε ένδειξη κερδίζει τη θέση της.

Κρατήστε μια χρήσιμη συνήθεια ελέγχου

Όταν φτάσετε σε μια απάντηση, αντικαταστήστε την σε κάθε συνθήκη. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο μετά από πράξεις στο μυαλό, όπου ένα ελκυστικό μοτίβο μπορεί να κρύβει ένα μικρό σφάλμα αφαίρεσης. Ελέγξτε και τον αρχικό δείκτη: το n² + 1 που ξεκινά από n = 0 δίνει διαφορετικό πρώτο όρο από τον ίδιο τύπο που ξεκινά από n = 1.

Για περαιτέρω πλαίσιο, η On-Line Encyclopedia of Integer Sequences συγκεντρώνει πολλές τεκμηριωμένες ακολουθίες ακεραίων. Μια αντίστοιχη καταχώριση μπορεί να υποδείξει μια σύνδεση, αλλά δεν αποδεικνύει ότι ο κανόνας της ήταν η πρόθεση του συγγραφέα του γρίφου. Αντιμετωπίστε μια πηγή ως τεκμήριο προς εξέταση, όχι ως αυθεντία που καταργεί την ανάγκη για εξήγηση.

Έχετε ολοκληρώσει αυτή τη διαδρομή όταν μπορείτε να διακρίνετε τα παρατηρούμενα δεδομένα, τον κανόνα που προτείνετε και το συμπέρασμα που προκύπτει. Η εύρεση του αριθμού είναι μόνο ένα μέρος αυτού του επιτεύγματος.